この件での私の意見は上記記事に書かれたものが全てであって、それ以上何か助けになるということはできません。住所も遠隔地ですので現実に関与する意欲もありません。
当ブログでは法の抽象的な可能性についての言及はしていますが、具体的な事件の解決方法を詳細に提示することは不可能ですし、慎むべきものであると認識しています。
時間湯や湯長制度についても、報道や資料を見ただけの理解であり、実際に体験したこともありませんので、細かい点で立論として弱い、或いは成り立たないものがある可能性はあります。
本件の解決方法は町長の側を説得するか、指定管理者制度の枠外で湯長制度を継続するかに大別されると思いますが（それが可能かも含めて検討が必要）、その中身についても種々の方法があるでしょう。
それに際しては正確な法的理解を持つ者（たとえば弁護士）による助言を踏まえて町長の側に対する折衝や町議会の議員への働きかけが必要でしょうから、私が出る幕などはありません。
ただ、「上記記事の内容を主張の参考にしたい」ということであれば、それを妨げるものではありません（リンク先の記述全体は第三者のものであるため除く。また、別媒体への引用の範囲を超える転載も不可）。
上記記事は公的な文書等を引用した上で私の意見を付加したものであり、著作権法違反の問題が発生しないように注意しています。記述内容のうち私の意見である部分を、そのままどこかで主張して頂いても、まったく差し支えありません。
以上
